Chúng ta sẽ cùng nhau xây dựng một hướng dẫn chi tiết về dạng toán công việc chung – công việc riêng, phù hợp với học sinh lớp 9.
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT VỀ DẠNG TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG – CÔNG VIỆC RIÊNG (LỚP 9)
I. GIỚI THIỆU CHUNG
Dạng toán công việc chung – công việc riêng là một dạng toán quen thuộc trong chương trình toán THCS, đặc biệt là lớp 9. Dạng toán này thường xuất hiện trong các bài toán thực tế, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức về phân số, phương trình, hệ phương trình để giải quyết vấn đề.
1. Bản chất của dạng toán
Về bản chất, dạng toán này mô tả mối quan hệ giữa:
Công việc:
Toàn bộ khối lượng công việc cần hoàn thành (ví dụ: xây một ngôi nhà, đào một con mương, may một lô hàng…).
Năng suất:
Lượng công việc mà một người (hoặc một nhóm người, một máy móc…) thực hiện được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: một ngày, một giờ, một tuần…).
Thời gian:
Khoảng thời gian cần thiết để hoàn thành công việc.
2. Các yếu tố cần xác định
Khi giải một bài toán công việc chung – công việc riêng, chúng ta cần xác định rõ các yếu tố sau:
Công việc:
Đề bài yêu cầu hoàn thành công việc gì?
Đối tượng tham gia:
Có những ai (hoặc những máy móc nào) tham gia vào công việc?
Thời gian làm riêng:
Mỗi đối tượng làm một mình thì mất bao lâu để hoàn thành công việc?
Thời gian làm chung:
Các đối tượng cùng làm thì mất bao lâu để hoàn thành công việc?
Mối quan hệ giữa các yếu tố:
Đề bài cho biết những mối liên hệ nào giữa các yếu tố trên? (Ví dụ: năng suất của người này gấp đôi người kia, thời gian làm chung ít hơn thời gian làm riêng…).
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm cơ bản
Công việc:
Thường được coi là một đại lượng không đổi, có thể biểu diễn bằng số 1 (tức là 100% công việc).
Năng suất:
Nếu một người (hoặc một máy móc…) làm xong một công việc trong *xđơn vị thời gian, thì năng suất của người đó (hoặc máy móc đó) là 1/*x(công việc/đơn vị thời gian).
Năng suất tỉ lệ nghịch với thời gian (nếu năng suất tăng thì thời gian giảm, và ngược lại).
Thời gian:
Thời gian = Công việc / Năng suất.
2. Các công thức quan trọng
Công thức tính năng suất khi làm chung:
Nếu có hai người (hoặc hai máy móc…) cùng làm một công việc, năng suất làm chung bằng tổng năng suất của từng người (hoặc từng máy móc).
Tổng quát: Nếu có *nđối tượng cùng làm một công việc, năng suất làm chung = năng suất của đối tượng 1 + năng suất của đối tượng 2 + … + năng suất của đối tượng *n*.
Công thức tính thời gian khi làm chung:
Thời gian làm chung = Công việc / Năng suất làm chung.
Công thức liên hệ giữa công việc, năng suất và thời gian:
Công việc = Năng suất × Thời gian.
III. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG – CÔNG VIỆC RIÊNG
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và phân tích
Đọc kỹ đề bài ít nhất hai lần.
Xác định rõ công việc cần làm, các đối tượng tham gia, thời gian làm riêng, thời gian làm chung (nếu có) và các mối quan hệ giữa các yếu tố.
Tóm tắt đề bài bằng sơ đồ, bảng hoặc gạch chân các thông tin quan trọng.
Bước 2: Chọn ẩn số và đặt điều kiện
Chọn ẩn số thích hợp. Thông thường, chúng ta nên chọn ẩn số là thời gian làm riêng của một (hoặc các) đối tượng, hoặc năng suất của một (hoặc các) đối tượng.
Đặt điều kiện cho ẩn số. Điều kiện thường là số dương, hoặc lớn hơn một số nào đó (dựa vào ngữ cảnh của bài toán).
Bước 3: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số
Sử dụng các công thức và mối quan hệ đã nêu ở phần II để biểu diễn các đại lượng chưa biết (năng suất, thời gian, công việc…) qua ẩn số.
Lập bảng tóm tắt các đại lượng (nếu cần thiết) để dễ theo dõi.
Bước 4: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng đã biểu diễn, lập phương trình (hoặc hệ phương trình).
Phương trình thường được lập dựa trên các yếu tố sau:
Tổng năng suất làm chung.
Tổng công việc hoàn thành trong một khoảng thời gian nhất định.
Mối quan hệ giữa thời gian làm riêng và thời gian làm chung.
Bước 5: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình)
Sử dụng các phương pháp giải phương trình (hoặc hệ phương trình) đã học để tìm ra giá trị của ẩn số.
Kiểm tra xem giá trị của ẩn số có thỏa mãn điều kiện đã đặt hay không.
Bước 6: Trả lời
Dựa vào giá trị của ẩn số, tính toán các đại lượng mà đề bài yêu cầu.
Viết câu trả lời đầy đủ và rõ ràng.
IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Dạng 1: Hai đối tượng cùng làm chung một công việc
Đề bài:
Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 12 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 20 giờ sẽ xong. Hỏi người thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (coi là 1).
Đối tượng: Người thứ nhất và người thứ hai.
Thời gian làm chung: 12 giờ.
Thời gian người thứ nhất làm riêng: 20 giờ.
Yêu cầu: Tính thời gian người thứ hai làm riêng.
Giải:
Gọi *x(giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc (x > 12).
Năng suất của người thứ nhất: 1/20 (công việc/giờ).
Năng suất của người thứ hai: 1/*x(công việc/giờ).
Năng suất làm chung của hai người: 1/12 (công việc/giờ).
Ta có phương trình: 1/20 + 1/*x= 1/12
Giải phương trình, ta được *x= 30 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy, người thứ hai làm một mình thì sau 30 giờ sẽ xong công việc.
2. Dạng 2: Một công việc được hoàn thành bởi nhiều đối tượng, với các giai đoạn khác nhau
Đề bài:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình trong 4 giờ, sau đó vòi thứ hai chảy một mình trong 3 giờ thì được 7/8 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?
Phân tích:
Công việc: Làm đầy bể (coi là 1).
Đối tượng: Vòi thứ nhất và vòi thứ hai.
Thời gian hai vòi chảy chung: 3 giờ.
Giai đoạn 1: Vòi 1 chảy 4 giờ.
Giai đoạn 2: Vòi 2 chảy 3 giờ.
Tổng công việc trong hai giai đoạn: 7/8 bể.
Yêu cầu: Tính thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể.
Giải:
Gọi *x(giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể (x > 3).
Gọi *y(giờ) là thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể (y > 3).
Năng suất của vòi thứ nhất: 1/*x(bể/giờ).
Năng suất của vòi thứ hai: 1/*y(bể/giờ).
Hai vòi chảy chung trong 3 giờ thì đầy bể: 3(1/*x+ 1/*y*) = 1 (1)
Vòi 1 chảy 4 giờ, vòi 2 chảy 3 giờ được 7/8 bể: 4(1/*x*) + 3(1/*y*) = 7/8 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được:
1/*x= 1/8 => *x= 8
1/*y= 1/24 => *y= 24
Vậy, vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 8 giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình thì sau 24 giờ đầy bể.
3. Dạng 3: Bài toán có yếu tố năng suất thay đổi
Đề bài:
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì sau 15 ngày sẽ xong. Họ làm chung được 6 ngày thì đội I nghỉ, đội II làm tiếp 24 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (coi là 1).
Đối tượng: Đội I và đội II.
Thời gian làm chung ban đầu: 15 ngày.
Thời gian làm chung thực tế: 6 ngày.
Thời gian đội II làm riêng: 24 ngày.
Yêu cầu: Tính thời gian mỗi đội làm riêng xong việc.
Giải:
Gọi *x(ngày) là thời gian đội I làm một mình xong công việc (x > 15).
Gọi *y(ngày) là thời gian đội II làm một mình xong công việc (y > 15).
Năng suất của đội I: 1/*x(công việc/ngày).
Năng suất của đội II: 1/*y(công việc/ngày).
Hai đội làm chung trong 15 ngày thì xong việc: 15(1/*x+ 1/*y*) = 1 (1)
Hai đội làm chung 6 ngày, đội II làm tiếp 24 ngày thì xong việc: 6(1/*x+ 1/*y*) + 24(1/*y*) = 1 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được:
1/*x= 1/25 => *x= 25
1/*y= 2/75 => *y= 37.5
Vậy, đội I làm một mình thì sau 25 ngày xong việc, đội II làm một mình thì sau 37.5 ngày xong việc.
4. Dạng 4: Bài toán có yếu tố “năng suất gấp/kém nhau”
Đề bài:
Hai người cùng làm một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 6 giờ xong việc, người thứ hai làm một mình thì sau 12 giờ xong việc. Đầu tiên người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ, sau đó cả hai người cùng làm đến khi xong việc. Hỏi cả hai người đã làm chung trong bao lâu?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (coi là 1).
Đối tượng: Người thứ nhất và người thứ hai.
Thời gian người thứ nhất làm riêng: 6 giờ.
Thời gian người thứ hai làm riêng: 12 giờ.
Giai đoạn 1: Người thứ nhất làm 2 giờ.
Yêu cầu: Tính thời gian hai người làm chung.
Giải:
Gọi *t(giờ) là thời gian hai người làm chung (t > 0).
Năng suất của người thứ nhất: 1/6 (công việc/giờ).
Năng suất của người thứ hai: 1/12 (công việc/giờ).
Trong 2 giờ, người thứ nhất làm được: 2 (1/6) = 1/3 (công việc).
Trong *tgiờ, hai người làm chung được: *t(1/6 + 1/12) = *t(1/4) (công việc).
Tổng công việc hoàn thành: 1/3 + *t*/4 = 1
Giải phương trình, ta được *t= 8/3 = 2 giờ 40 phút.
Vậy, cả hai người đã làm chung trong 2 giờ 40 phút.
V. MỘT SỐ LƯU Ý QUAN TRỌNG
Đọc kỹ đề bài:
Đây là bước quan trọng nhất. Hãy đọc kỹ đề bài, phân tích rõ các yếu tố và mối quan hệ giữa chúng.
Chọn ẩn số hợp lý:
Việc chọn ẩn số hợp lý sẽ giúp bạn giải bài toán một cách dễ dàng hơn.
Kiểm tra điều kiện của ẩn số:
Sau khi giải phương trình (hoặc hệ phương trình), hãy kiểm tra xem giá trị của ẩn số có thỏa mãn điều kiện đã đặt hay không.
Đơn vị:
Luôn chú ý đến đơn vị của các đại lượng (thời gian, năng suất, công việc…) để tránh nhầm lẫn.
Luyện tập thường xuyên:
Để nắm vững dạng toán này, bạn cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau.
VI. BÀI TẬP VẬN DỤNG (CÓ ĐÁP ÁN)
Bài 1:
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì sau 18 ngày sẽ xong. Nếu đội I làm một mình trong 12 ngày, sau đó đội II làm tiếp trong 8 ngày thì được 2/5 công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc? (Đáp án: Đội I: 45 ngày, Đội II: 30 ngày)
Bài 2:
Một bể nước có hai vòi chảy vào và một vòi tháo ra. Nếu mở cả hai vòi chảy vào cùng một lúc thì sau 2 giờ bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được 5/8 bể. Nếu mở vòi tháo ra thì sau 8 giờ bể cạn. Hỏi nếu mở cả ba vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể đầy? (Đáp án: 4 giờ)
Bài 3:
Hai người cùng làm một công việc. Người thứ nhất làm một mình thì sau 15 giờ xong việc, người thứ hai làm một mình thì sau 10 giờ xong việc. Đầu tiên người thứ hai làm một mình trong 3 giờ, sau đó cả hai người cùng làm đến khi xong việc. Hỏi cả hai người đã làm chung trong bao lâu? (Đáp án: 4 giờ 12 phút)
VII. KẾT LUẬN
Dạng toán công việc chung – công việc riêng là một dạng toán quan trọng và có tính ứng dụng cao. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn hoàn toàn có thể chinh phục được dạng toán này. Chúc bạn học tốt!