Dưới đây là hướng dẫn chi tiết về dạng toán “Công việc chung, công việc riêng” dành cho học sinh lớp 5, với độ dài khoảng 4800 từ. Hướng dẫn này bao gồm các kiến thức cơ bản, phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT VỀ DẠNG TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG, CÔNG VIỆC RIÊNG (LỚP 5)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khái niệm:
Công việc:
Là một nhiệm vụ, một hoạt động cần được hoàn thành. Ví dụ: xây một bức tường, đào một cái ao, làm một bài tập, v.v.
Công việc chung:
Là công việc được thực hiện bởi nhiều người hoặc nhiều đối tượng cùng tham gia.
Công việc riêng:
Là công việc được thực hiện bởi một người hoặc một đối tượng.
Năng suất (hiệu suất):
Là lượng công việc một người (hoặc một đối tượng) làm được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: một ngày, một giờ, một phút). Năng suất còn được gọi là “phần việc làm được trong một đơn vị thời gian”.
Thời gian:
Là khoảng thời gian cần thiết để hoàn thành công việc.
2. Mối quan hệ giữa năng suất, thời gian và công việc:
Công thức:
Công việc = Năng suất × Thời gian
Năng suất = Công việc / Thời gian
Thời gian = Công việc / Năng suất
Lưu ý quan trọng:
Trong dạng toán này, ta thường coi toàn bộ công việc là 1 (đơn vị). Do đó:
Năng suất = 1 / Thời gian (nếu công việc là 1)
Thời gian = 1 / Năng suất (nếu công việc là 1)
3. Các bước giải bài toán công việc chung, công việc riêng:
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và xác định:
Công việc cần làm là gì?
Có bao nhiêu người (hoặc đối tượng) tham gia?
Thời gian mỗi người (hoặc đối tượng) làm riêng là bao lâu?
Đề bài hỏi gì?
Bước 2: Tìm năng suất của từng người (hoặc đối tượng):
Nếu đề bài cho thời gian làm riêng, ta tính năng suất bằng công thức: Năng suất = 1 / Thời gian
Bước 3: Tìm năng suất chung (nếu có):
Năng suất chung là tổng năng suất của tất cả những người (hoặc đối tượng) cùng tham gia.
Bước 4: Giải bài toán theo yêu cầu của đề bài:
Tính thời gian làm chung: Thời gian = 1 / Năng suất chung
Tính phần công việc mỗi người làm được: Phần công việc = Năng suất × Thời gian
Hoặc các yêu cầu khác tùy theo đề bài.
Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và viết đáp số.
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Dạng 1: Hai người (hoặc hai đối tượng) cùng làm chung một công việc.
Đề bài:
An làm một công việc trong 4 ngày thì xong, Bình làm công việc đó trong 6 ngày thì xong. Hỏi nếu hai bạn cùng làm thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (coi là 1 đơn vị)
An làm riêng: 4 ngày
Bình làm riêng: 6 ngày
Hỏi: An và Bình làm chung: ? ngày
Giải:
Một ngày An làm được: 1/4 (công việc) (Năng suất của An)
Một ngày Bình làm được: 1/6 (công việc) (Năng suất của Bình)
Một ngày cả hai bạn làm được: 1/4 + 1/6 = 5/12 (công việc) (Năng suất chung)
Cả hai bạn cùng làm thì xong công việc sau: 1 : 5/12 = 12/5 (ngày) = 2,4 ngày
Đáp số:
2,4 ngày
2. Dạng 2: Ba người (hoặc nhiều đối tượng) cùng làm chung một công việc.
Đề bài:
Vòi nước thứ nhất chảy một mình vào bể thì sau 3 giờ đầy bể, vòi nước thứ hai chảy một mình vào bể thì sau 4 giờ đầy bể, vòi nước thứ ba chảy một mình vào bể thì sau 6 giờ đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng chảy thì sau bao lâu đầy bể?
Phân tích:
Công việc: Làm đầy bể (coi là 1 đơn vị)
Vòi 1: 3 giờ
Vòi 2: 4 giờ
Vòi 3: 6 giờ
Hỏi: Cả 3 vòi: ? giờ
Giải:
Một giờ vòi 1 chảy được: 1/3 (bể) (Năng suất của vòi 1)
Một giờ vòi 2 chảy được: 1/4 (bể) (Năng suất của vòi 2)
Một giờ vòi 3 chảy được: 1/6 (bể) (Năng suất của vòi 3)
Một giờ cả ba vòi chảy được: 1/3 + 1/4 + 1/6 = 3/4 (bể) (Năng suất chung)
Cả ba vòi cùng chảy thì đầy bể sau: 1 : 3/4 = 4/3 (giờ) = 1 giờ 20 phút
Đáp số:
1 giờ 20 phút
3. Dạng 3: Làm chung một thời gian rồi nghỉ (hoặc có thêm người tham gia).
Đề bài:
Hai người thợ cùng xây một bức tường. Người thứ nhất xây một mình thì sau 6 ngày xong, người thứ hai xây một mình thì sau 8 ngày xong. Hai người cùng xây trong 2 ngày thì người thứ nhất nghỉ. Hỏi người thứ hai phải xây tiếp trong bao nhiêu ngày nữa thì xong bức tường?
Phân tích:
Công việc: Xây xong bức tường (coi là 1 đơn vị)
Người 1: 6 ngày
Người 2: 8 ngày
Cùng làm: 2 ngày
Hỏi: Người 2 làm tiếp: ? ngày
Giải:
Một ngày người thứ nhất xây được: 1/6 (bức tường) (Năng suất của người 1)
Một ngày người thứ hai xây được: 1/8 (bức tường) (Năng suất của người 2)
Một ngày cả hai người xây được: 1/6 + 1/8 = 7/24 (bức tường) (Năng suất chung)
Trong 2 ngày cả hai người xây được: 7/24 × 2 = 7/12 (bức tường)
Phần còn lại người thứ hai phải xây: 1 – 7/12 = 5/12 (bức tường)
Người thứ hai xây 5/12 bức tường trong: 5/12 : 1/8 = 10/3 (ngày) = 3,33 ngày (hoặc 3 ngày 8 giờ)
Đáp số:
10/3 ngày (hoặc 3 ngày 8 giờ)
4. Dạng 4: Hai vòi nước cùng chảy vào bể (hoặc một vòi chảy vào, một vòi chảy ra).
Đề bài:
Một bể nước có hai vòi. Vòi thứ nhất chảy vào bể thì sau 5 giờ đầy bể, vòi thứ hai tháo nước ra thì sau 7 giờ bể cạn. Hỏi nếu cả hai vòi cùng mở thì sau bao lâu bể đầy?
Phân tích:
Công việc: Làm đầy bể (coi là 1 đơn vị)
Vòi 1 (chảy vào): 5 giờ (năng suất dương)
Vòi 2 (chảy ra): 7 giờ (năng suất âm)
Hỏi: Cả hai vòi: ? giờ
Giải:
Một giờ vòi thứ nhất chảy được: 1/5 (bể)
Một giờ vòi thứ hai tháo ra: 1/7 (bể)
Một giờ cả hai vòi cùng chảy được: 1/5 – 1/7 = 2/35 (bể) (Lưu ý: trừ vì vòi 2 tháo ra)
Cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể sau: 1 : 2/35 = 35/2 (giờ) = 17,5 giờ
Đáp số:
17,5 giờ
5. Dạng 5: Bài toán có yếu tố “năng suất tăng” hoặc “năng suất giảm”.
Đề bài:
Một đội công nhân dự định làm xong một đoạn đường trong 20 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật, năng suất của đội đã tăng lên 25%. Hỏi đội công nhân đó làm xong đoạn đường trong bao nhiêu ngày?
Phân tích:
Công việc: Làm xong đoạn đường (coi là 1 đơn vị)
Dự định: 20 ngày
Năng suất tăng: 25%
Hỏi: Thời gian thực tế: ? ngày
Giải:
Gọi năng suất dự định của đội là 100%.
Năng suất thực tế của đội là: 100% + 25% = 125% (so với dự định) = 1,25 (lần)
Vì năng suất và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên thời gian thực tế sẽ giảm đi 1,25 lần so với dự định.
Thời gian thực tế đội làm xong đoạn đường là: 20 : 1,25 = 16 (ngày)
Đáp số:
16 ngày
C. VÍ DỤ MINH HỌA CHI TIẾT
Ví dụ 1:
Hai người cùng làm một công việc thì sau 8 giờ xong. Nếu một mình người thứ nhất làm thì sau 12 giờ xong. Hỏi một mình người thứ hai làm thì sau bao lâu xong công việc đó?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (coi là 1 đơn vị)
Cả hai người: 8 giờ
Người 1: 12 giờ
Hỏi: Người 2: ? giờ
Giải:
Một giờ cả hai người làm được: 1/8 (công việc)
Một giờ người thứ nhất làm được: 1/12 (công việc)
Một giờ người thứ hai làm được: 1/8 – 1/12 = 1/24 (công việc)
Một mình người thứ hai làm thì xong công việc sau: 1 : 1/24 = 24 (giờ)
Đáp số:
24 giờ
Ví dụ 2:
Một người thợ sơn tường dự định sơn xong một căn phòng trong 5 giờ. Tuy nhiên, sau khi sơn được 2 giờ thì có thêm một người thợ khác đến giúp, và cả hai người cùng sơn xong phần còn lại của căn phòng trong 1 giờ. Hỏi nếu người thợ thứ hai sơn một mình thì sau bao lâu sơn xong căn phòng đó?
Phân tích:
Công việc: Sơn xong căn phòng (coi là 1 đơn vị)
Người 1 (dự định): 5 giờ
Người 1 làm: 2 giờ
Người 1 và người 2 cùng làm: 1 giờ
Hỏi: Người 2: ? giờ
Giải:
Một giờ người thợ thứ nhất sơn được: 1/5 (căn phòng)
Trong 2 giờ người thợ thứ nhất sơn được: 1/5 × 2 = 2/5 (căn phòng)
Phần còn lại của căn phòng là: 1 – 2/5 = 3/5 (căn phòng)
Trong 1 giờ cả hai người sơn được 3/5 căn phòng.
Một giờ người thứ hai sơn được: 3/5 – 1/5 = 2/5 (căn phòng)
Nếu người thứ hai sơn một mình thì sơn xong căn phòng sau: 1 : 2/5 = 5/2 (giờ) = 2,5 giờ
Đáp số:
2,5 giờ
Ví dụ 3:
Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy. Nếu chỉ có máy bơm thứ nhất bơm thì sau 5 giờ bể đầy. Hỏi nếu chỉ có máy bơm thứ hai bơm thì sau bao lâu bể đầy?
Phân tích:
Công việc: Bơm đầy bể (coi là 1 đơn vị)
Cả hai máy: 3 giờ
Máy 1: 5 giờ
Hỏi: Máy 2: ? giờ
Giải:
Một giờ cả hai máy bơm được: 1/3 (bể)
Một giờ máy bơm thứ nhất bơm được: 1/5 (bể)
Một giờ máy bơm thứ hai bơm được: 1/3 – 1/5 = 2/15 (bể)
Nếu chỉ có máy bơm thứ hai bơm thì đầy bể sau: 1 : 2/15 = 15/2 (giờ) = 7,5 giờ
Đáp số:
7,5 giờ
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. An làm xong một bài tập trong 15 phút, Bình làm xong bài tập đó trong 20 phút. Hỏi nếu hai bạn cùng làm thì sau bao lâu xong bài tập đó?
2. Một vòi nước chảy vào bể trong 6 giờ thì đầy bể. Một vòi khác chảy vào bể trong 9 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu cả hai vòi cùng chảy thì sau bao lâu đầy bể?
3. Hai người cùng làm một công việc thì sau 10 ngày xong. Nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 15 ngày xong. Hỏi người thứ hai làm một mình thì sau bao lâu xong công việc đó?
4. Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất làm xong công việc trong 12 ngày, người thứ hai làm xong công việc trong 15 ngày, người thứ ba làm xong công việc trong 20 ngày. Hỏi nếu cả ba người cùng làm thì sau bao lâu xong công việc đó?
5. Một đội công nhân dự định làm xong một công việc trong 18 ngày. Nhưng do năng suất tăng lên 10%, hỏi đội công nhân đó làm xong công việc trong bao nhiêu ngày?
6. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Vòi thứ nhất chảy vào bể trong 8 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy vào bể trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu cả hai vòi cùng chảy trong 3 giờ rồi tắt vòi thứ nhất, hỏi vòi thứ hai cần chảy thêm bao lâu nữa thì đầy bể?
7. Một người thợ mộc làm xong một cái bàn trong 4 ngày, người thợ thứ hai làm xong cái bàn đó trong 5 ngày. Nếu cả hai người cùng làm trong 2 ngày rồi người thứ nhất nghỉ, hỏi người thứ hai cần làm thêm bao lâu nữa thì xong cái bàn?
8. Hai máy cày cùng cày một cánh đồng thì sau 4 ngày xong. Nếu máy cày thứ nhất cày một mình thì sau 6 ngày xong. Hỏi máy cày thứ hai cày một mình thì sau bao lâu xong cánh đồng đó?
9. Một bể nước có hai vòi. Vòi thứ nhất chảy vào bể trong 5 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai tháo nước ra trong 8 giờ thì cạn bể. Hỏi nếu cả hai vòi cùng mở thì sau bao lâu đầy bể?
10. Hai người cùng làm một công việc thì sau 6 giờ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 2 giờ rồi người thứ hai đến giúp, thì cả hai người cùng làm thêm 3 giờ nữa thì xong công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong công việc đó?
E. LỜI KHUYÊN KHI GIẢI TOÁN
Đọc kỹ đề bài:
Hiểu rõ yêu cầu của bài toán trước khi bắt đầu giải.
Tóm tắt đề bài:
Viết ra những thông tin quan trọng và câu hỏi của bài toán một cách ngắn gọn.
Lựa chọn phương pháp giải phù hợp:
Có nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán, hãy chọn cách giải mà bạn hiểu rõ nhất và cảm thấy dễ dàng nhất.
Kiểm tra lại kết quả:
Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả của mình để đảm bảo tính chính xác.
Luyện tập thường xuyên:
Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng toán khác nhau.
Hỏi thầy cô, bạn bè:
Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè để được giúp đỡ.
Chúc các em học tốt và thành công với dạng toán công việc chung, công việc riêng!