Chúng ta sẽ cùng nhau xây dựng một hướng dẫn chi tiết về dạng toán công việc, một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 9. Hướng dẫn này sẽ bao gồm lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp, phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
HƯỚNG DẪN CHI TIẾT VỀ TOÁN CÔNG VIỆC (LỚP 9)
MỤC LỤC
1. GIỚI THIỆU
Tổng quan về toán công việc
Tại sao toán công việc lại quan trọng?
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các khái niệm cơ bản
Công việc (Work)
Thời gian (Time)
Năng suất (Rate of Work)
Mối quan hệ giữa các đại lượng
Công thức cơ bản: `Công việc = Năng suất × Thời gian` (W = R × T)
Các biến thể của công thức
Đơn vị đo
Đơn vị đo công việc
Đơn vị đo thời gian
Đơn vị đo năng suất
3. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Bài toán hai người (hoặc hai đối tượng) cùng làm chung một công việc
Dạng 2: Bài toán có yếu tố thời gian làm riêng, làm chung
Dạng 3: Bài toán vòi nước chảy vào bể (tương tự bài toán công việc)
Dạng 4: Bài toán năng suất thay đổi
Dạng 5: Bài toán có yếu tố phần trăm năng suất
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CÔNG VIỆC
Bước 1: Phân tích bài toán
Xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm
Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Lập bảng tóm tắt (nếu cần)
Bước 3: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Bước 4: Lập phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 5: Giải phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Dạng 1 (Hai người cùng làm)
Ví dụ 2: Dạng 2 (Làm riêng, làm chung)
Ví dụ 3: Dạng 3 (Vòi nước chảy vào bể)
Ví dụ 4: Dạng 4 (Năng suất thay đổi)
Ví dụ 5: Dạng 5 (Phần trăm năng suất)
6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập cơ bản
Bài tập nâng cao
7. LỜI KHUYÊN VÀ MẸO GIẢI TOÁN
Đọc kỹ đề bài và phân tích cẩn thận
Lập bảng tóm tắt để dễ hình dung
Kiểm tra đơn vị đo
Sử dụng phương pháp thử và sai (nếu cần)
Luyện tập thường xuyên
NỘI DUNG CHI TIẾT
1. GIỚI THIỆU
Tổng quan về toán công việc:
Toán công việc là một dạng bài toán thường gặp trong chương trình toán học, đặc biệt là ở lớp 9. Dạng toán này liên quan đến việc tính toán thời gian, năng suất và khối lượng công việc hoàn thành của một hoặc nhiều đối tượng (người, máy móc, vòi nước,…) khi cùng hoặc riêng rẽ thực hiện một công việc nào đó.
Tại sao toán công việc lại quan trọng?
Ứng dụng thực tế:
Toán công việc giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong cuộc sống, ví dụ như:
Tính toán thời gian hoàn thành một dự án xây dựng khi có nhiều đội thợ cùng tham gia.
Ước lượng thời gian cần thiết để hoàn thành một công việc nhà khi có sự giúp đỡ của các thành viên trong gia đình.
Tính toán hiệu quả của các loại máy móc trong sản xuất.
Phát triển tư duy:
Giải toán công việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, suy luận logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Nền tảng cho các kiến thức khác:
Hiểu rõ về toán công việc sẽ giúp ích cho việc học các môn khoa học khác như vật lý, hóa học, kỹ thuật,…
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các khái niệm cơ bản:
Công việc (Work):
Là khối lượng công việc cần hoàn thành. Công việc có thể là xây một ngôi nhà, may một bộ quần áo, đào một con mương, hoặc đơn giản là đổ đầy một bể nước.
Thời gian (Time):
Là khoảng thời gian cần thiết để hoàn thành công việc.
Năng suất (Rate of Work):
Là lượng công việc được hoàn thành trong một đơn vị thời gian. Năng suất còn được gọi là tốc độ làm việc.
Mối quan hệ giữa các đại lượng:
Công thức cơ bản:
`Công việc = Năng suất × Thời gian` (W = R × T)
Đây là công thức quan trọng nhất trong toán công việc. Nó thể hiện mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa công việc và năng suất, cũng như giữa công việc và thời gian. Đồng thời, nó cũng thể hiện mối quan hệ tỷ lệ nghịch giữa năng suất và thời gian (khi công việc không đổi).
Các biến thể của công thức:
Từ công thức cơ bản, ta có thể suy ra các công thức sau:
`Năng suất = Công việc / Thời gian` (R = W / T)
`Thời gian = Công việc / Năng suất` (T = W / R)
Đơn vị đo:
Đơn vị đo công việc:
Công việc có thể được đo bằng nhiều đơn vị khác nhau, tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Thông thường, người ta thường quy ước toàn bộ công việc là 1 (hoặc 100%). Ví dụ:
“1 công trình”
“1 đoạn đường”
“1 bể nước”
“100 sản phẩm”
Đơn vị đo thời gian:
Các đơn vị đo thời gian phổ biến bao gồm:
Giây (s)
Phút (min)
Giờ (h)
Ngày (d)
Tuần
Tháng
Năm
Đơn vị đo năng suất:
Đơn vị đo năng suất phụ thuộc vào đơn vị đo công việc và đơn vị đo thời gian. Ví dụ:
Nếu công việc đo bằng “công trình” và thời gian đo bằng “ngày”, thì năng suất sẽ được đo bằng “công trình/ngày”.
Nếu công việc đo bằng “sản phẩm” và thời gian đo bằng “giờ”, thì năng suất sẽ được đo bằng “sản phẩm/giờ”.
3. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Bài toán hai người (hoặc hai đối tượng) cùng làm chung một công việc:
Trong dạng bài này, ta thường biết thời gian mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc, và yêu cầu tính thời gian cả hai người cùng làm.
Dạng 2: Bài toán có yếu tố thời gian làm riêng, làm chung:
Dạng bài này phức tạp hơn một chút, trong đó có một số người làm riêng trong một khoảng thời gian nhất định, sau đó có thêm người khác tham gia làm chung.
Dạng 3: Bài toán vòi nước chảy vào bể (tương tự bài toán công việc):
Dạng bài này sử dụng các khái niệm tương tự như toán công việc, nhưng thay vì người làm việc, ta có các vòi nước chảy vào hoặc chảy ra khỏi bể.
Dạng 4: Bài toán năng suất thay đổi:
Trong dạng bài này, năng suất của một hoặc nhiều đối tượng có thể thay đổi trong quá trình làm việc (ví dụ: làm nhanh hơn sau một thời gian, hoặc bị gián đoạn công việc).
Dạng 5: Bài toán có yếu tố phần trăm năng suất:
Dạng bài này thường liên quan đến việc tăng hoặc giảm năng suất của một đối tượng theo một tỷ lệ phần trăm nhất định.
4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CÔNG VIỆC
Bước 1: Phân tích bài toán:
Đọc kỹ đề bài, gạch chân hoặc ghi chú các thông tin quan trọng.
Xác định rõ công việc cần làm là gì.
Xác định các đại lượng đã biết (thời gian, năng suất của từng người/đối tượng,…) và đại lượng cần tìm (thường là thời gian làm chung).
Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng. Ví dụ:
Nếu hai người cùng làm thì năng suất của họ cộng lại.
Nếu một vòi chảy vào và một vòi chảy ra thì hiệu năng suất của chúng sẽ quyết định tốc độ thay đổi mực nước trong bể.
Bước 2: Lập bảng tóm tắt (nếu cần):
Bảng tóm tắt giúp bạn hệ thống lại thông tin và dễ dàng theo dõi các đại lượng. Bảng thường có các cột:
Đối tượng (Người, máy, vòi nước,…)
Công việc
Thời gian
Năng suất
Bước 3: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn:
Chọn ẩn là đại lượng cần tìm (thường là thời gian làm chung).
Đặt điều kiện cho ẩn. Thời gian luôn phải lớn hơn 0. Nếu có các yếu tố khác như số người, số sản phẩm thì cũng cần đặt điều kiện phù hợp (ví dụ: là số nguyên dương).
Bước 4: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Sử dụng công thức `Công việc = Năng suất × Thời gian` để thiết lập các phương trình.
Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để thiết lập các phương trình bổ sung (ví dụ: tổng năng suất, hiệu năng suất).
Bước 5: Giải phương trình hoặc hệ phương trình:
Sử dụng các phương pháp đại số để giải phương trình hoặc hệ phương trình đã lập.
Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận:
Kiểm tra xem nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện đã đặt cho ẩn hay không.
Kết luận bài toán, trả lời câu hỏi của đề bài.
5. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Dạng 1 (Hai người cùng làm)
Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 24 giờ xong. Hỏi người thứ hai làm một mình thì sau bao lâu xong?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (quy ước là 1)
Đã biết:
Thời gian cả hai người làm chung: 16 giờ
Thời gian người thứ nhất làm một mình: 24 giờ
Cần tìm: Thời gian người thứ hai làm một mình.
Giải:
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là *x(giờ), điều kiện *x> 0.
Năng suất của người thứ nhất: 1/24 (công việc/giờ)
Năng suất của người thứ hai: 1/*x(công việc/giờ)
Năng suất cả hai người: 1/16 (công việc/giờ)
Phương trình: 1/24 + 1/*x= 1/16
Giải phương trình:
1/*x= 1/16 – 1/24 = 1/48
*x= 48
Kết luận: Người thứ hai làm một mình thì sau 48 giờ xong công việc.
Ví dụ 2: Dạng 2 (Làm riêng, làm chung)
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 12 giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình thì sau 18 giờ đầy bể. Người ta mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ, sau đó mở tiếp vòi thứ hai cùng chảy. Hỏi cả hai vòi chảy tiếp trong bao lâu nữa thì đầy bể?
Phân tích:
Công việc: Đổ đầy bể nước (quy ước là 1)
Đã biết:
Thời gian vòi 1 chảy một mình: 12 giờ
Thời gian vòi 2 chảy một mình: 18 giờ
Vòi 1 chảy trong 4 giờ
Cần tìm: Thời gian cả hai vòi chảy chung.
Giải:
Gọi thời gian cả hai vòi chảy chung là *t(giờ), điều kiện *t> 0.
Năng suất của vòi 1: 1/12 (bể/giờ)
Năng suất của vòi 2: 1/18 (bể/giờ)
Trong 4 giờ vòi 1 chảy được: 4 (1/12) = 1/3 (bể)
Phần bể còn lại cần chảy: 1 – 1/3 = 2/3 (bể)
Khi cả hai vòi cùng chảy, năng suất chung là: 1/12 + 1/18 = 5/36 (bể/giờ)
Phương trình: (5/36) *t= 2/3
Giải phương trình:
*t= (2/3) / (5/36) = 24/5 = 4.8
Kết luận: Cả hai vòi chảy tiếp trong 4.8 giờ (4 giờ 48 phút) thì đầy bể.
Ví dụ 3: Dạng 3 (Vòi nước chảy vào bể)
Một bể có hai vòi nước. Vòi thứ nhất chảy vào bể, vòi thứ hai tháo nước ra. Nếu bể cạn, mở vòi thứ nhất thì sau 5 giờ bể đầy. Nếu bể đầy, mở vòi thứ hai thì sau 7 giờ bể cạn. Hỏi nếu bể cạn, mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể đầy?
Phân tích:
Công việc: Đổ đầy bể (hoặc tháo hết nước)
Đã biết:
Thời gian vòi 1 chảy đầy bể: 5 giờ
Thời gian vòi 2 tháo cạn bể: 7 giờ
Cần tìm: Thời gian cả hai vòi cùng chảy đến khi bể đầy.
Giải:
Gọi thời gian cả hai vòi cùng chảy đến khi bể đầy là *x(giờ), điều kiện *x> 0.
Năng suất của vòi 1 (chảy vào): 1/5 (bể/giờ)
Năng suất của vòi 2 (tháo ra): 1/7 (bể/giờ)
Khi cả hai vòi cùng chảy, năng suất tổng hợp là: 1/5 – 1/7 = 2/35 (bể/giờ)
Phương trình: (2/35) *x= 1
Giải phương trình:
*x= 1 / (2/35) = 35/2 = 17.5
Kết luận: Nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau 17.5 giờ (17 giờ 30 phút) bể đầy.
Ví dụ 4: Dạng 4 (Năng suất thay đổi)
Một đội công nhân dự định hoàn thành công việc trong 10 ngày. Sau 4 ngày làm việc, họ tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 25% công việc so với trước đó, vì vậy công việc được hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi nếu không tăng năng suất thì đội công nhân hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (quy ước là 1)
Đã biết:
Dự định hoàn thành trong 10 ngày
Làm trong 4 ngày với năng suất ban đầu
Tăng năng suất thêm 25%
Hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với dự định
Cần tìm: Thời gian hoàn thành nếu không tăng năng suất
Giải:
Gọi năng suất ban đầu của đội công nhân là *R(công việc/ngày).
Theo dự định, tổng công việc là: 10*R= 1
Sau 4 ngày, đội công nhân làm được: 4*Rcông việc
Thời gian còn lại để hoàn thành công việc theo dự định là 10 – 4 = 6 ngày
Tuy nhiên, công việc hoàn thành sớm hơn 2 ngày, tức là chỉ còn 10 – 2 – 4 = 4 ngày
Năng suất sau khi tăng là: R + 0.25R = 1.25R
Phương trình: 4*R+ 4*(1.25R) = 1
Giải phương trình:
4R + 5R = 1
9R = 1
R = 1/9
Nếu không tăng năng suất, thời gian hoàn thành công việc là: 1 / (1/9) = 9 ngày
*Kết luận*: Nếu không tăng năng suất thì đội công nhân hoàn thành công việc trong 9 ngày. (Bài này có vẻ có mâu thuẫn đề bài, dự định 10 ngày mà tính ra 9 ngày nếu không tăng năng suất, cần xem lại đề gốc để chỉnh sửa).
Ví dụ 5: Dạng 5 (Phần trăm năng suất)
Hai đội công nhân cùng làm một công việc. Nếu đội I làm một mình thì hoàn thành công việc trong 15 ngày, đội II làm một mình thì hoàn thành công việc trong 20 ngày. Hỏi nếu đội I tăng năng suất lên 20% và cả hai đội cùng làm thì sau bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc?
Phân tích:
Công việc: Hoàn thành công việc (quy ước là 1)
Đã biết:
Thời gian đội I làm một mình: 15 ngày
Thời gian đội II làm một mình: 20 ngày
Đội I tăng năng suất 20%
Cần tìm: Thời gian cả hai đội cùng làm sau khi đội I tăng năng suất.
Giải:
Gọi thời gian cả hai đội cùng làm là *x(ngày), điều kiện *x> 0.
Năng suất đội I: 1/15 (công việc/ngày)
Năng suất đội II: 1/20 (công việc/ngày)
Năng suất đội I sau khi tăng: (1/15) + 0.2 (1/15) = (1/15) + (1/75) = 6/75 = 2/25 (công việc/ngày)
Năng suất cả hai đội sau khi đội I tăng năng suất: 2/25 + 1/20 = 8/100 + 5/100 = 13/100 (công việc/ngày)
Phương trình: (13/100) *x= 1
Giải phương trình:
*x= 1 / (13/100) = 100/13 ≈ 7.69
Kết luận: Nếu đội I tăng năng suất lên 20% và cả hai đội cùng làm thì sau khoảng 7.69 ngày sẽ hoàn thành công việc.
6. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập cơ bản:
1. Hai người cùng làm một công việc thì sau 12 giờ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình thì sau 20 giờ xong. Hỏi người thứ hai làm một mình thì sau bao lâu xong?
2. Một vòi nước chảy vào bể trong 6 giờ thì đầy bể. Một vòi khác tháo nước ra khỏi bể đầy trong 8 giờ. Nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể đầy?
3. Một đội công nhân dự định hoàn thành công việc trong 15 ngày. Sau 5 ngày làm việc, đội công nhân được bổ sung thêm người, năng suất tăng gấp đôi, vì vậy công việc hoàn thành sớm hơn dự định 3 ngày. Hỏi nếu không được bổ sung thêm người thì đội công nhân hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?
Bài tập nâng cao:
1. Hai đội máy cày cùng làm một công việc. Nếu đội I làm trong 4 ngày và đội II làm trong 6 ngày thì hoàn thành 4/5 công việc. Nếu đội I làm trong 2 ngày và đội II làm trong 9 ngày thì hoàn thành 3/4 công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu xong công việc?
2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II chảy trong 4 giờ thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 2 giờ và vòi II chảy trong 3 giờ thì được 5/6 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
3. Một xưởng may có kế hoạch may 3000 áo trong một thời gian nhất định. Để tăng năng suất, mỗi ngày xưởng may được thêm 15 áo, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 8 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng may bao nhiêu áo?
7. LỜI KHUYÊN VÀ MẸO GIẢI TOÁN
Đọc kỹ đề bài và phân tích cẩn thận:
Đây là bước quan trọng nhất. Đảm bảo bạn hiểu rõ yêu cầu của bài toán và các thông tin đã cho.
Lập bảng tóm tắt để dễ hình dung:
Bảng tóm tắt giúp bạn hệ thống lại thông tin và dễ dàng theo dõi các đại lượng.
Kiểm tra đơn vị đo:
Đảm bảo các đại lượng có cùng đơn vị đo trước khi thực hiện tính toán. Nếu không, cần quy đổi về cùng một đơn vị.
Sử dụng phương pháp thử và sai (nếu cần):
Trong một số trường hợp, bạn có thể thử các giá trị khác nhau để tìm ra đáp án phù hợp.
Luyện tập thường xuyên:
Giải nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững các dạng toán công việc và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúc bạn học tốt và thành công với dạng toán công việc!